Question

已知函數f（x）=e^x+2x²-3x．
（Ⅰ）求證函數f（x）在區間[0，1]上存在唯一的極值點，并用二分法求函數取得極值時相應x的近似值（誤差不超過0.2）；（參考數據e≈2.7，

e

≈1.6，e^0.3≈1.3）
（Ⅱ）當x≥

1

2

時，若關于x的不等式f(x)≥

5

2

x2+(a-3)x+1恒成立，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求函數的導數，求導數在0和1處的值，乘積小于0即可
（Ⅱ）利用分參法把a分離出來，構造函數，求函數的導數，判斷函數的單調性，求a的取值范圍

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=e^x+4x-3，（1分）
令h（x）=f'（x）=e^x+4x-3，則h′（x）=e^x+4＞0，（2分）
∴f′（x）在區間[0，1]上單調遞增，
∵f′（0）=e⁰-3=-2＜0，f'（1）=e+1＞0，
∴f′（0）•f′（1）＜0．（3分）
又∵f′（x）在區間[0，1]上是單調函數
∴f′（x）在區間[0，1]上存在唯一零點，
∴f（x）在區間[0，1]上存在唯一的極小值點．（4分）
取區間[0，1]作為起始區間，用二分法逐次計算如下：
①f'（0.5）≈0.6＞0，而f'（0）=-2＜0，
∴f'（0.5）×f'（0）＜0）
∴極值點所在區間是[0，0.5]；
②又f'（0.3）≈-0.5＜0，
∴f'（0.3）×f'（0.5）＜0，
∴極值點所在區間是[0.3，0.5]；
③∵|0.5-0.3|=0.2，
∴區間[0.3，0.5]內任意一點即為所求．
∴x=0.4（7分）
（Ⅱ）由f(x)≥

5

2

x2+(a-3)x+1，得ex+2x2-3x≥

5

2

x2+(a-3)x+1，
即ax≤ex-

1

2

x2-1，
∵x≥

1

2

，∴a≤

ex- 1 2 x2-1

x

，（8分）
令g(x)=

ex- 1 2 x2-1

x

，則g′(x)=

ex(x-1)- 1 2 x2+1

x2

．（10分）
令φ(x)=ex(x-1)-

1

2

x2+1，則φ'（x）=x（e^x-1）．
∵x≥

1

2

，∴φ′（x）＞0，∴φ（x）在[

1

2

，+∞)上單調遞增，
∴φ(x)≥φ(

1

2

)=

7

8

-

1

2

e

＞0，
因此g′（x）＞0，故g（x）在[

1

2

，+∞)上單調遞增，（12分）
則g(x)≥g(

1

2

)=

e 1 2 - 1 8 -1

1 2

=2

e

-

9

4

，
∴a的取值范圍是a≤2

e

-

9

4

．（14分）

點評：該題考查函數的求導，判斷函數的單調性，會使用二分法和分參法的方法求出a的取值范圍．注意極值點的取值區間．