Question

已知函數y=lg（x²+2x+a）
（1）若函數定義域為R，求a的取值范圍；
（2）若函數的值域為[0，+∞），求a的取值范圍；
（3）若函數的值域為R，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當函數定義域為R時，x²+2x+a＞0恒成立，
所以有△=4-4a＜0，解得a＞1，
所以a的取值范圍為（1，+∞）；
（2）當函數的值域為[0，+∞），即y=lg（x²+2x+a）≥0時，x²+2x+a=（x+1）²+a-1的最小值為1，
所以有a-1=1，解得a=2，
所以a的取值范圍為{a|a=2}；
（3）當函數的值域為R時，x²+2x+a的值域包括一切正實數，
所以有△=4-4a≥0，解得a≤1．
所以a的取值范圍為（-∞，1]．
分析：（1）當函數定義域為R時，x²+2x+a＞0恒成立，由恒成立問題處理方法即可解決；
（2）當函數的值域為[0，+∞）時，相當于給出了函數的最小值，由此可求a值范圍；
（3）當函數的值域為R時，說明x²+2x+a的值域包括一切正實數，由此可得一不等式，從而可求a的取值范圍；
點評：該題目非常典型，一題三問便于比較區分，準確理解題意并對問題進行合理轉化是解決本題的關鍵．