Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=a，E，F分別是BC，DC的中點．
（1）求直線BD₁與平面ABCD所成角的正切值；
（2）求異面直線AD₁與EF所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）確定∠D₁BD是直線BD₁與平面ABCD所成角，在直角△D₁DB中，可得結論；
（2）連結BC₁、BD和DC₁，證明∠DBC₁就是異面直線AD₁與EF所成角，即可得出結論．

解答：解：（1）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BD是BD₁在平面ABCD內的射影，
所以∠D₁BD是直線BD₁與平面ABCD所成角．
設正方體的棱長為a，在直角△D₁DB中，D₁D=a，BD=

2

a，∠D₁DB=90°，
則tan∠D₁DB=

DD1

BD

=

2

2

；                            6分
（2）連結BC₁、BD和DC₁，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
由AB∥D₁C₁且AB=D₁C₁有ABC₁D₁是平行四邊形，
∴AD₁∥BC₁
在△BCD中，E，F分別是BC，DC的中點，
∴有EF∥BD，所以∠DBC₁就是異面直線AD₁與EF所成角
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC₁、BD和DC₁是其三個面上的對角線，它們相等．
所以△DBC₁是正三角形，∠DBC₁=60°
故異面直線AD₁與EF所成角的大小為60°                         13分

點評：本題考查線面角，考查線線角，考查學生的計算能力，正確作出空間角是關鍵．