Question

已知圓C：

x=2cosθ-1 y=2sinθ+2

（θ為參數，θ∈R）．O為坐標原點，動點P在圓C外，過P作圓C的切線l，設切點為M．
（1）若點P運動到（1，3）處，求此時切線l的方程；
（2）求滿足條件|PM|=|PO|的點P的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）通過把已知圓C的方程化為標準方程，求出圓心和半徑，分存在斜率和不存在斜率的情況討論求出切線l的方程
（2）設P的坐標為（x，y），然后用P的坐標分別表示出|PM|與|PO|，最后根據|PM|=|PO|的關系求出P的軌跡方程．

解答：解：把圓C的方程化為標準方程為（x+1）²+（y-2）²=4，
∴圓心為（-1，2），半徑為2
（1）①當l的斜率不存在時：
此時l的方程為x=1，滿足條件
②當l的斜率存在時：
設斜率為k，得l的方程為y-3=k（x-1），
即kx-y+3-k=0，
∵

|-k-2+3-k|

1+k2

=2，
解得k=-

3

4

．
∴l的方程為3x+4y-15=0．
綜上，滿足條件的切線l的方程為x=1或3x+4y-15=0
（2）設P（x，y），
∵|PM|²=|PC|²-|MC|²=（x+1）²+（y-2）²-4，
而|PO|²=x²+y²，
∴由|PM|=|PO|有（x+1）²+（y-2）²-4=x²+y²，
整理得2x-4y+1=0，
即點P的軌跡方程為2x-4y+1=0

點評：本題考查直線與圓的位置關系以及向量的長度相等問題．其中直線方程考查有無斜率的情況．本題屬于難題