Question

（2013•門頭溝區一模）如圖：圓O的割線PAB經過圓心O，C是圓上一點，PA=AC=

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2

AB，則以下結論不正確的是（　　）

A．CB=CP

B．PC?AC=PA?BC

C．PC是圓O的切線

D．BC²=BA?BP

Answer 1

分析：根據AB是圓的直徑結合AC=

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AB，得到△ACB中∠B=30°，∠CAB=60°且BC=

3

2

AB．再在△PAC中用余弦定理，計算出PC=

3

AC=

3

2

AB，從而得到BC=PC，可得A、B兩項都正確；連接OC，算出∠PCO=90°，可得PC⊥CO，從而PC是圓O的切線，C正確；最后根據切割線定理，結合前面算出的數據得到BC²≠BA•BP，得D不正確．

解答：解：∵AB是圓O的直徑，∴∠ACB=90°
又∵AC=

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2

AB，∴∠B=30°，可得∠CAB=60°且BC=

3

2

AB
∵PA=AC=

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2

AB，
∴△PAC用余弦定理，
得PC=

PA2+AC2-2PA•ACcos120°

=

3

AC=

3

2

AB，
即BC=PC，得A正確；
∵PA=AC，BC=PC，∴PC•AC=PA•BC，得B正確；
連接OC，可得
∵等腰△PAC中，∠PCA=30°且等邊△ACO中，∠ACO=60°
∴∠OCP=90°，可得PC⊥OC，所以PC是圓O的切線，故C正確；
根據切割線定理，得BC²=PC²=PA•PB≠BA•BP，故D不正確．
故選：D

點評：本題給出圓的切線與經過圓心的割線，判斷幾個命題的真假，著重考查了圓的切線的判定定理、含有30度角直角三角形的性質、切割線定理和余弦定理等知識，屬于中檔題．