Question

已知動點到點的距離等于它到直線的距離．

（1）求點的軌跡的方程；

（2）過點任意作互相垂直的兩條直線，分別交曲線于點和．

設(shè)線段,的中點分別為，求證：直線恒過一個定點.

Answer 1

解：（1）設(shè)動點的坐標(biāo)為，由題意得，，

化簡得，所以點的軌跡的方程為．-------------------5分

（2）設(shè)兩點坐標(biāo)分別為，，則點的坐標(biāo)為．

由題意可設(shè)直線的方程為 ，

由  .       ---------------7分

.

因為直線與曲線于兩點，所以，

．所以點的坐標(biāo)為.   ------------9分

由題知，直線的斜率為，同理可得點的坐標(biāo)為. --10分

當(dāng)時，有，此時直線的斜率.  所以，直線的方程為，------------------11分

整理得. 于是，直線恒過定點；  -----12分

當(dāng)時，直線的方程為，也過點．

綜上所述，直線恒過定點．