Question

已知：直線l的參數方程為：

x=2+t y= 3 t

（t為參數），曲線C的極坐標方程為：ρ²cos2θ=1．
（1）求曲線C的普通方程；
（2）求直線l被曲線C截得的弦長．

Answer 1

分析：本題考查直線與圓的位置關系問題，直線被圓所截得的弦長可用代數法和幾何法來加以求解

解答：解：（1）由曲線C：ρ²cos2θ=ρ²（cos²θ-sin²θ）=1，
得ρ²cos²θ-ρ²sin²θ=1，化成普通方程x²-y²=1．①（5分）
（2）（方法一）把直線參數方程化為標準參數方程

x=2+ 1 2 t y= 3 2 t

(t為參數)，②
把②代入①得：(2+

1

2

t)2-(

3

2

t)2=1，整理，得t²-4t-6=0，
設其兩根為t₁，t₂，則t₁+t₂=4，t₁•t₂=-6，．（8分）
從而弦長為|t1-t2|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

42-4(-6)

=

40

=2

10

．（10分）
（方法二）把直線l的參數方程化為普通方程為y=

3

(x-2)，代入x²-y²=1，得2x²-12x+13=0，．（6分）
設l與C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=6，x1•x2=

13

2

，．（8分）
∴|AB|=

1+3

•

(x1+x2)2-4x1x2

=2

62-26

=2

10

．（10分）

點評：方法一：利用了直線參數方程中參數的幾何意義
方法二：利用了直線被圓所截得的弦長公式