Question

己知雙曲線的中心在原點(diǎn)，右頂點(diǎn)為（1，0），點(diǎn)、Q在雙曲線的右支上，點(diǎn) （，0）到直線的距離為1．

（1）若直線的斜率為且有,求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，的內(nèi)心恰好是點(diǎn)，求此雙曲線的方程．

Answer 1

（1）  或 （2） 

解析:

設(shè)直線的方程為：，…………………2分

由點(diǎn)到直線的距離為可知：

得到，…………………5分

因?yàn)?img width=91 height=45 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/161/35561.gif">，所以，

所以  ，或

所以   或；…………………8分

（2）當(dāng)時(shí)，，

由于點(diǎn)到直線的距離為，所以直線的斜率，……10分

因?yàn)辄c(diǎn)為的內(nèi)心，故是雙曲線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，所以軸，不妨設(shè)直線交軸于點(diǎn)，則，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，…………………12分

所以兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為，把代入直線的方程：，得，所以兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：，

設(shè)雙曲線方程為：，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程得到

，…………………15分

所以雙曲線方程為：…………………16分