Question

如圖(1)是一正方體的表面展開圖，MN和PB是兩條面對角線，請在圖(2)的正方體中將MN和PB畫出，并就這個正方體解決下面問題．

(1)求證：MN∥平面PBD；

(2)求證：AQ⊥平面PBD；

(3)求二面角P－DB－M的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解：M．N．Q．B的位置如圖所示．(正確標出給1分) 　　(1)∵ND∥MB且ND＝MB 　　∴四邊形NDBM為平行四邊形 　　∴MN∥DB　∴BD平面PBD，MN　∴MN∥平面PBD 　　(2)∵QC⊥平面ABCD，BD平面ABCD， 　　∴BD⊥QC　又∵BD⊥AC， 　　∴BD⊥平面AQC　∵AQ面AQC 　　∴AQ⊥BD，同理可得AQ⊥PB， 　　∵BDPD＝B 　　∴AQ⊥面PDB 　　(3)解法1：分別取DB．MN中點E．F連結PE．EF．PF 　　∵在正方體中，PB＝PB 　　∴PE⊥DB　∵四邊形NDBM為矩形 　　∴EF⊥DB　∴∠PEF為二面角P－DB－M為平面角 　　∵EF⊥平面PMN　∴EF⊥PF 　　設正方體的棱長為a，則在直角三角形EFP中 　　∵　∴