Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當函數(shù)在點處的切線方程為，求函數(shù)的解析式；

（2）在（1）的條件下，若是函數(shù)的零點，且，求的值；

（3）當時，函數(shù)有兩個零點，且，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）先求出的導函數(shù)，再根據(jù)且可以求得的值進而得函數(shù)的解析式；（2）先根據(jù)導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點定理判定出零點所在區(qū)間即可求得的值；（3）根據(jù)做差先將表示成關于的函數(shù)，然后證明即可．

試題解析： （1），所以，

∴函數(shù)的解析式為；

（2），

因為函數(shù)的定義域為，

令，

當時，，單調(diào)遞減，

當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，

且函數(shù)的定義域為，

令，

且時，單調(diào)遞減，

當時，，單調(diào)遞增，

且函數(shù)至少有1個零點，而，不符合要求，

，

∴，故．

（3）當時，函數(shù)，

，兩式相減可得

．

，因為，

所以

設，

∴，

所以在上為增函數(shù)，且，

∴，又，所以．