Question

橢圓

x2

3

+

y2

2

=1內有一點P（1，1），一直線過點P與橢圓相交于P₁、P₂兩點，弦P₁P₂被點P平分，求直線P₁P₂的方程．

Answer 1

分析：因為點P（1，1）在橢圓內，且弦P₁P₂被點P平分，所以可用“點差法”求相交弦所在直線方程，方法是將P₁，P₂兩點坐標代入橢圓方程，作差后將中點坐標代入即可得弦P₁P₂的斜率，最后由點斜式寫出直線方程．

解答：解：設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），則

x12

3

+

y12

2

=1，

x22

3

+

y22

2

=1
兩式相減得

(x1+x2)(x1-x2)

3

+

(y1+y2)(y1-y2)

2

=0
∵弦P₁P₂被點P平分，∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2
代入上式得

y1-y2

x1-x2

=-

2

3

，即直線P₁P₂的斜率為

2

3

∴直線P₁P₂的方程為 y-1=

2

3

（x-1），即2x+3y-5=0．

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，解決直線與橢圓相交且已知相交弦中點坐標時，可采用“點差法”．