Question

在平面直角坐標系中，點到兩定點F₁和F₂的距離之和為，設點的軌跡是曲線.(1)求曲線的方程；   (2)若直線與曲線相交于不同兩點、(、不是曲線和坐標軸的交點)，以為直徑的圓過點，試判斷直線是否經過一定點，若是，求出定點坐標；若不是，說明理由.

Answer 1

解：解：(1)設，由橢圓定義可知，

點的軌跡是以和為焦點，長半軸長為2的橢圓．

它的短半軸長，故曲線的方程為： 

（2）設．

聯立   消去y，整理得，

則 

又．

因為以為直徑的圓過點，，即．

．

．

．                    

解得：，且均滿足．

當時，的方程，直線過點，與已知矛盾；

當時，的方程為，直線過定點．

所以，直線過定點，定點坐標為．