Question

已知α，β三次函數f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax2+2bx（a，b∈R）的兩個極值點，且α∈（0，1）β∈（1，2）求動點（a，b）所在區域的面積為（　�。�

• A、

  1

  4

• B、

  1

  2

• C、1
• D、2

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,簡單線性規劃的應用

專題：導數的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：已知α，β是三次函數f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax2+2bx的兩個極值點，對f（x）進行求導，可知α，β是方程x²+ax+2b=0的兩個根，根據α∈（0，1），β∈（1，2），求出可行域，利用數形結合的方法進行求解；

解答： 解：由函數f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax2+2bx（a，b∈R）可得，
f′（x）=x²+ax+2b，
由題意知，α，β是方程x²+ax+2b=0的兩個根，
且α∈（0，1），β∈（1，2），
因此得到可行域

f′(0)=2b＞0 f′(1)=1+a+2b＜0 f′(2)=4+2a+2b＞0

即

b＞0 a+2b+1＜0 a+b+2＞0

，畫出可行域如圖．

a+2b+1=0 a+b+2=0

的交點（-3，1）．
所以S=

1

2

×1×1=

1

2

；
故選：B．

點評：此題是一道簡單的線性規劃問題，利用導數研究函數的極值，根據二次函數根與系數的關系得出可行域，此題是一道中檔題；