Question

已知函數y=f（x）的定義域為（-∞，-3）∪（3，+∞），且滿足條件：4x²-9y²=36，其中xy＜0．若y=f（x）的反函數y=g（x）的圖象上任意一點的切線的斜率為k，則k的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，-3）∪（3，+∞）
• B、(-∞，-

  3

  2

  )
• C、(-

  3

  2

  ，+∞)
• D、(-

  3

  2

  ，0)

Answer 1

分析：由題意知此函數的圖象是焦點在x軸上的雙曲線圖象的一部分，其反函數的圖象是焦點在y軸上的雙曲線的圖象的一部分，根據雙曲線的簡單性質求出斜率的取值范圍即可

解答：解：4x²-9y²=36，可變為

x2

9

-

y2

4

=1，xy＜0
即函數y=f（x）的定義域為（-∞，-3）∪（3，+∞），其圖象為為

x2

9

-

y2

4

=1，xy＜0的圖象
由反函數的性質知，函數y=f（x）的圖象即雙曲線

y2

9

-

x2

4

=1，xy＜0的圖象的一部分
作出其圖象，如圖，雙曲線的漸近線方程是y=-

9

4

x
由圖可以得出此函數圖象上各點的斜率k的取值范圍是(-

3

2

，0)
故選D

點評：本題考查反函數，正確解題的關鍵是將函數的圖象與雙曲線的圖象對應起來，把求反函數切線斜率范圍的問題轉化為雙曲線部分圖象上的斜率問題，結合漸近線方程，求出斜率的范圍，本題考查了轉化化歸的思想，實屬于難題了，利用數形結合的技巧，反函數的定義等，綜合性知識性較強，題后應好好總結一下本題的轉化思路、求解的方法．