Question

（2005•北京）設f（x）是定義在[0，1]上的函數，若存在x*∈（0，1），使得f（x）在[0，x•]上單調遞增，在[x•，1]單調遞減，則稱f（x）為[0，1]上的單峰函數，x•為峰點，包含峰點的區間為含峰區間．

對任意的[0，1]上的單峰函數f（x），下面研究縮短其含峰區間長度的方法．

（Ⅰ）證明：對任意的x1，x2∈（0，1），x1＜x2，若f（x1）≥f（x2），則（0，x2）為含峰區間；若f（x1）≤f（x2），則（x1，1）為含峰區間；

（Ⅱ）對給定的r（0＜r＜0.5），證明：存在x1，x2∈（0，1），滿足x2﹣x1≥2r，使得由（Ⅰ）確定的含峰區間的長度不大于0.5+r；

（Ⅲ）選取x1，x2∈（0，1），x1＜x2由（Ⅰ）可確定含峰區間為（0，x2）或（x1，1），在所得的含峰區間內選取x3，由x3與x1或x3與x2類似地可確定是一個新的含峰區間．在第一次確定的含峰區間為（0，x2）的情況下，試確定x1，x2，x3的值，滿足兩兩之差的絕對值不小于0.02且使得新的含峰區間的長度縮短到0.34．

（區間長度等于區間的右端點與左端點之差）．

 

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）本題是一道新定義題，咋一看挺繁瑣且無從下手，其實這類新定義題目只需牢牢的抓住題干定義，需要分f（x1）≥f（x2）和 f（x1）≤f（x2）兩類情況討論分析；

（Ⅱ）有了（Ⅰ）的討論處理，第（Ⅱ）顯的容易一些，只要借助（Ⅰ）用r把x1，x2分別表達出來；

（Ⅲ）本問題是在第（Ⅱ）問的基礎上又提出的問題，關鍵是找出以下兩組關系式：x1+x2=l和x3+x1=x2，

證明：（Ⅰ）設x*為f（x）的峰點，則由單峰函數定義可知，f（x）在[0，x*]上單調遞增，在[x*，1]上單調遞減．

當f（x1）≥f（x2）時，假設x*∉（0，x2），則x1＜x2＜x*，從而f（x*）≥f（x2）＞f（x1），

這與f（x1）≥f（x2）矛盾，所以x*∈（0，x2），即（0，x2）是含峰區間．

當f（x1）≤f（x2）時，假設x*∉（x1，1），則x*≤x1＜x2，從而f（x*）≥f（x1）＞f（x2），

這與f（x1）≤f（x2）矛盾，所以x*∈（x1，1），即（x1，1）是含峰區間．

（Ⅱ）由（Ⅰ）的結論可知：

當f（x1）≥f（x2）時，含峰區間的長度為l1=x2；

當f（x1）≤f（x2）時，含峰區間的長度為l2=1﹣x1；

對于上述兩種情況，由題意得①

由①得1+x2﹣x1≤1+2r，即x2﹣x1≤2r

又因為x2﹣x1≥2r，所以x2﹣x1=2r，②

將②代入①得

x1≤0.5﹣r，x2≥0.5﹣r，③

由①和③解得x1=0.5﹣r，x2=0.5+r．

所以這時含峰區間的長度l1=l1=0.5+r，即存在x1，x2使得所確定的含峰區間的長度不大于0.5+r．

（Ⅲ）【解析】
對先選擇的x1；x2，x1＜x2，由（Ⅱ）可知

x1+x2=l，④

在第一次確定的含峰區間為（0，x2）的情況下，x3的取值應滿足

x3+x1=x2，⑤

由④與⑤可得，

當x1＞x3時，含峰區間的長度為x1．

由條件x1﹣x3≥0.02，得x1﹣（1﹣2x1）≥0.02，從而x1≥0.34．

因此，為了將含峰區間的長度縮短到0.34，只要取x1=0.34，x2=0.66，x3=0.32．