Question

（07年上海卷理）（18分）

已知半橢圓與半橢圓組成的曲線稱為“果圓”，其中。如圖，設點，，是相應橢圓的焦點，，和，是“果圓” 與，軸的交點，

（1）若三角形是邊長為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；

（2）若，求的取值范圍；

（3）一條直線與果圓交于兩點，兩點的連線段稱為果圓的弦。是否存在實數，使得斜率為的直線交果圓于兩點，得到的弦的中點的軌跡方程落在某個橢圓上？若存在，求出所有的值；若不存在，說明理由。

Answer 1

解析：（1） ，

，

    于是，所求“果圓”方程為                           

    ， 

（2）由題意，得  ，即．

         ，，得．  

     又．  ．               

    （3）設“果圓”的方程為，．

    記平行弦的斜率為．

當時，直線與半橢圓的交點是

，與半橢圓的交點是．

 的中點滿足  得 ．

     ， ．

    綜上所述，當時，“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上．  

    當時，以為斜率過的直線與半橢圓的交點是．  

由此，在直線右側，以為斜率的平行弦的中點軌跡在直線上，

即不在某一橢圓上．

    當時，可類似討論得到平行弦中點軌跡不都在某一橢圓上．