Question

已知函數的定義域為R，對任意的x₁，x₂都滿足f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），當x＞0時，f（x）＞0．
（I）試判斷并證明f（x）的奇偶性；
（II）試判斷并證明f（x）的單調性；
（III）若均成立，求實數m 的取值范圍．

Answer 1

解：（I）∵f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），令x₁=x₂=0得f（0）=0．
再令x₁=x，x₂=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）為R上的奇函數．
（II）設x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，當x＞0時f（x）＞0．∴f（x₂-x₁）＞0
由f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）為R上的增函數．
（III）∵f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞0，∴f（cos2θ-3）＞-f（4m-2mcosθ）
∵f（x）為R上的奇函數，，即f（-x）=-f（x），∴f（cos2θ-3）＞f（2mcosθ-4m）
又∵f（x）為R上的增函數，cos2θ-3＞2mcosθ-4m對所有的均成立，2cos²θ-4＞2m（cosθ-2）恒成立，
又∵cosθ-2＜0，
∴恒成立，
又∵，又，
∴0≤cosθ≤1，∴cosθ-2＜0，
∴
當且僅當即時取等號．
∴
∴．
分析：（I）先求得f（x），令x=y=0，有f（0）=0，再令x₁=x，x₂=-x，即f（-x）=-f（x），故f（x）為奇函數．
（II）在R上任取x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，再比較f（x₁）和f（x₂）的大小，從而得出：f（x）是增函數；
（III）根據f（x）為R上的增函數也是奇函數，f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞0對所有的θ均成立可轉化成cos2θ-3＞2mcosθ-4m對所有的均成立，然后利用分離法即可求出實數m的取值范圍．對于任意x₁，x₂∈R，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．令x₁=x₂=1，可求f（1）；再賦值可求f（-1）=0，進而可求f（-1×x）=f（-x）=f（1）+f（x）=f（x），可得f（x）為偶函數；
點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．