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設(shè)f(x)=ax3+x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間,是確定a的取值范圍,并求其單調(diào)區(qū)間.
分析:求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),要使f(x)=ax3+x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間,則f'(x)=0,有兩個(gè)不等的實(shí)根,利用判別式△>0,進(jìn)行求解即可.
解答:解:由f(x)=ax3+x,得f′(x)=3ax2+1.
若a≥0,f′(x)≥0恒成立,此時(shí)f(x)在(-∞,+∞)上為增函數(shù),函數(shù)只有一個(gè)增區(qū)間,不滿足條件.
若a<0,由f′(x)>0,得-
-
1
3a
<x<
-
1
3a
,
由f′(x)<0,得x<-
-
1
3a
或x>
-
1
3a

即a<0時(shí),f(x)在(-
-
1
3a
,
-
1
3a
)
上是增函數(shù),在(-∞,-
-
1
3a
),(
-
1
3a
,+∞)
上為減函數(shù).
∴滿足f(x)=ax3+x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間的a的范圍是(-∞,0).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系,即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減,是中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)
(Ⅰ)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,當(dāng)x=
12
時(shí),f(x)的極小值為-1,求f(x)的解析式.
(Ⅱ)若a=b=d=1,f(x)是R上的單調(diào)函數(shù),求c的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)f(x)=ax3+bx2+cx+d,f′(x)為其導(dǎo)數(shù),如圖是y=x•f′(x)圖象的一部分,則f(x)的極大值與極小值分別為(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)f(x)=ax3+bx2+4x,其導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(
23
,0)
,(2,0),
(1)求函數(shù)f(x)的解析式和極值;
(2)對(duì)x∈[0,3]都有f(x)≥mx2恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)f(x)=ax3+bx2+cx的極小值為-8,其導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象開(kāi)口向下且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,0),(
23
,0)

(I)求f(x)的解析式;
(II)方程f(x)+p=0有唯一實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)P的取值范圍.
(II)若對(duì)x∈[-3,3]都有f(x)≥m2-14m恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)f(x)=ax3+bx+c(a≠0)是奇函數(shù),其圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線x-6y-7=0垂直,導(dǎo)函數(shù)f′(x)的最小值為-12,
(1)求a,b,c的值;        
(2)求函數(shù)f(x)在[-1,3]上的最值.

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