Question

【題目】已知函數f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2處取得極值，若m，n∈[－1,1]，則f(m)＋f′(n)的最小值是________．

Answer 1

【答案】－13

【解析】求導得f′(x)＝－3x2＋2ax，

由函數f(x)在x＝2處取得極值知

f′(2)＝0，

即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.

由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，

f′(x)＝－3x2＋6x，

易知f(x)在[－1,0)上單調遞減，在(0,1]上單調遞增，

∴當m∈[－1,1]時，

f(m)min＝f(0)＝－4.

又f′(x)＝－3x2＋6x的圖像開口向下，

且對稱軸為x＝1，

∴當n∈[－1,1]時，

f′(n)min＝f′(－1)＝－9.

故f(m)＋f′(n)的最小值為－13.