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已知正數x、y、z滿足x+y+z=1，則
1
x
+
4
y
+
9
z
的最小值為
36
36
．
分析：由于正數x、y、z滿足x+y+z=1，可得
1
x
+
4
y
+
9
z
=(x+y+z)(
1
x
+
4
y
+
9
z
)=1+4+9+
y
x
+
4x
y
+
z
x
+
9x
z
+
4z
y
+
9y
z
，再利用均值不等式即可得出．
解答：解：∵正數x、y、z滿足x+y+z=1，
∴
1
x
+
4
y
+
9
z
=(x+y+z)(
1
x
+
4
y
+
9
z
)=1+4+9+
y
x
+
4x
y
+
z
x
+
9x
z
+
4z
y
+
9y
z
≥14+2
y
x
•
4x
y
+2
z
x
•
9x
z
+2
4z
y
•
9y
z
=36，當且僅當x=
1
6
，y=
1
3
，z=
1
2
，取等號．
故答案為36．
點評：本題考查了均值不等式的應用，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知大于1的正數x，y，z滿足x+y+z=3
3
．
（1）求證：
x2
x+2y+3z
+
y2
y+2z+3x
+
z2
z+2x+3y
≥
3
2
．
（2）求
1
log3x+log3y
+
1
log3y+log3z
+
1
log3z+log3x
的最小值．

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科目：高中數學 來源：設計選修數學－4-5人教A版 人教A版 題型：044

已知正數x，y，z滿足x＋y＋z＝xyz，且不等式≤λ恒成立，求λ的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知大于1的正數x，y，z滿足x+y+z=3
3
．
（1）求證：
x2
x+2y+3z
+
y2
y+2z+3x
+
z2
z+2x+3y
≥
3
2
．
（2）求
1
log3x+log3y
+
1
log3y+log3z
+
1
log3z+log3x
的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知正數x、y、z滿足x+y+z=xyz,且不等式≤λ恒成立,求λ的范圍.

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同步練習冊答案
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