Question

（本小題滿分12分）

如圖1，，，過動點A作，垂足D在線段BC上且異于點B，連接AB，沿將△折起，使（如圖2所示）．

（Ⅰ）當的長為多少時，三棱錐的體積最大；

（Ⅱ）當三棱錐的體積最大時，設點，分別為棱，的中點，試在棱上確定一點，使得，并求與平面所成角的大小．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）與平面所成角的大小

【解析】本題考察立體幾何線面的基本關系，考察如何取到最值，用均值不等式和導數均可求最值。同時考察直線與平面所成角。本題可用綜合法和空間向量法都可以。運用空間向量法對計算的要求要高些。

（Ⅰ）解法1：在如圖1所示的△中，設，則．

由，知，△為等腰直角三角形，所以.

由折起前知，折起后（如圖2），，，且，

所以平面．又，所以．于是

               

，

當且僅當，即時，等號成立，

故當，即時, 三棱錐的體積最大．                  

解法2：

同解法1，得．  

令，由，且，解得．

當時，；當時，．

所以當時，取得最大值．

故當時, 三棱錐的體積最大．                           

（Ⅱ）解法1：以為原點，建立如圖a所示的空間直角坐標系．

由（Ⅰ）知，當三棱錐的體積最大時，，．

于是可得，，，，，，

且．

設，則. 因為等價于，即

，故，.

所以當（即是的靠近點的一個四等分點）時，．   

設平面的一個法向量為，由 及，

得 可取．

設與平面所成角的大小為，則由，，可得

，即．

故與平面所成角的大小為                                

解法2：由（Ⅰ）知，當三棱錐的體積最大時，，．

如圖b，取的中點，連結，，，則∥.

由（Ⅰ）知平面，所以平面.

如圖c，延長至P點使得，連，，則四邊形為正方形，

所以. 取的中點，連結，又為的中點，則∥，

所以. 因為平面，又面，所以.

又，所以面. 又面，所以.

因為當且僅當，而點F是唯一的，所以點是唯一的.

即當（即是的靠近點的一個四等分點），．      

連接，，由計算得，

所以△與△是兩個共底邊的全等的等腰三角形，

如圖d所示，取的中點，連接，，

則平面．在平面中，過點作于，

則平面．故是與平面所成的角．

在△中，易得，所以△是正三角形，

故，即與平面所成角的大小為