Question

已知向量

AB

=（1+tanx，1-tanx），

AC

=（sin（x-

π

4

），sin（x+

π

4

））．
（1）求證：∠BAC為直角；
（2）若x∈[-

π

4

，

π

4

]，求△ABC的邊BC的長(zhǎng)度的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出向量的數(shù)量積，利用下了垂直的充要條件得證
（2）利用向量模的坐標(biāo)公式求出

|AC

|   

|AB|

，利用勾股定理求出|

BC

|，利用三角函數(shù)的有界性求出范圍．

解答：證明：（1）

AB

•

AC

=（1+tanx）sin（x-

π

4

）+（1-tanx）sin（x+

π

4

）
=

2

2

[

cosx+sinx

cosx

(sinx-cosx)+

cosx-sinx

cosx

(sinx+cosx)]=0
∴

AB

⊥

AC

（2）|

AC

|=sin²（x+

π

4

）+sin²（x-

π

4

）=1
∵

AB

⊥

AC

，|

BC

|²=|

AB

|²+|

AC

|²=3+2tan²x
∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，0≤tan²x≤1，
∴

3

≤|

BC

|≤

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積公式、向量垂直的充要條件、向量模的坐標(biāo)公式、勾股定理．