Question

數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，存在常數(shù)A，B，C，使得a_n+S_n=An²+Bn+C對任意正整數(shù)n都成立．若數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，求證：3A-B+C=0．

Answer 1

分析：已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列設(shè)公差為d，根據(jù)數(shù)列通項公式，可前n項和公式代入a_n+S_n=An²+Bn+C，可以求出A、B、C，再進行證明；

解答：解：因為{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，由a_n+S_n=An²+Bn+C，
得a₁+（n-1）d+na₁+

1

2

n（n-1）d=a_n+S_n=An²+Bn+C，…（2分）
即（

1

2

d-A）n²+（a₁+

d

2

-B）n+（a₁-d-C）=0對任意正整數(shù)n都成立．…（4分）
所以

1 2 d-A=0 a1+ 1 2 d-B=0 a1-d-C=0

，∴A=

1

2

d，B=a₁+

1

2

d，C=a₁-d，
所以3A-B+C=0．       …（10分）

點評：此題主要考查等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式，是一道基礎(chǔ)題，解題過程中用到了待定系數(shù)法；