【題目】如圖,在空間四邊形ABCD(A,B,C,D不共面)中,一個平面與邊AB,BC,CD,DA分別交于E,F,G,H(不含端點),則下列結論錯誤的是( )
A.若AE:BE=CF:BF,則AC∥平面EFGH
B.若E,F,G,H分別為各邊中點,則四邊形EFGH為平行四邊形
C.若E,F,G,H分別為各邊中點且AC=BD,則四邊形EFGH為矩形
D.若E,F,G,H分別為各邊中點且AC⊥BD,則四邊形EFGH為矩形
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【題目】已知點M(﹣1,0),N(1,0),曲線E上任意一點到M的距離均是到點N距離的 倍.
(1)求曲線E的方程;
(2)已知m≠0,設直線l1:x﹣my﹣1=0交曲線E于A,C兩點,直線l2:mx+y﹣m=0交曲線E于B,D兩點,C,D兩點均在x軸下方,求四邊形ABCD面積的最大值.
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【題目】已知數列{an}滿足an+2﹣2an+1+an=0(n∈N*),a2=4,其前7項和為42,設數列{bn}是等比數列,數列{bn}的前n項和為Sn滿足b1=a1﹣1,S30﹣(310+1)S20+310S10=0.
(1)求數列{an},{bn}的通項公式;
(2)令cn=1+log3 ,dn=
+
,求證:數列{dn}的前n項和Tn≥
.
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【題目】設O為坐標原點,點P的坐標為,
(1)若在一個盒子中,放有標號為1,2,3的三張卡片,現從此盒中有放回地先后抽到兩張卡片的標號分別記為x,y,求|OP|的最大值,并求事件“|OP|取到最大值”的概率;
(2)若利用計算機隨機在[0,3]上先后取兩個數分別記為x,y,求P點在第一象限的概率;
(3)從原點O出發的某質點,按向量
移動的概率為
,按向量
移動的概率為
,求
可到達點
的概率
.
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【題目】△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,2sin2 =sinC+1.
(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)若a= ,c=1,求△ABC的面積.
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【題目】已知函數f(x)滿足 ,當
時,f(x)=lnx,若在
上,方程f(x)=kx有三個不同的實根,則實數k的取值范圍是( )
A.
B.[﹣4ln4,﹣ln4]
C.
D.
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【題目】已知橢圓C:(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,且離心率為
,M為橢圓上任意一點,當∠F1MF2=90°時,△F1MF2的面積為1.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知點A是橢圓C上異于橢圓頂點的一點,延長直線AF1,AF2分別與橢圓交于點B,D,設直線BD的斜率為k1,直線OA的斜率為k2,求證:k1·k2等于定值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)見解析
【解析】
(Ⅰ)由題意可求得,則
,橢圓
的方程為
.
(Ⅱ)設,
,
當直線的斜率不存在或直線
的斜率不存在時,
.
當直線、
的斜率存在時,
,設直線
的方程為
,聯立直線方程與橢圓方程,結合韋達定理計算可得直線
的斜率為
,直線
的斜率為
,則
.綜上可得:直線
與
的斜率之積為定值
.
(Ⅰ)設由題
,
解得,則
,
橢圓
的方程為
.
(Ⅱ)設,
,當直線
的斜率不存在時,
設,則
,直線
的方程為
代入
,
可得
,
,則
,
直線
的斜率為
,直線
的斜率為
,
,
當直線的斜率不存在時,同理可得
.
當直線、
的斜率存在時,
設直線
的方程為
,
則由消去
可得:
,
又,則
,代入上述方程可得:
,
,
則
,
設直線的方程為
,同理可得
,
直線
的斜率為
直線
的斜率為
,
.
所以,直線與
的斜率之積為定值
,即
.
【點睛】
(1)解答直線與橢圓的題目時,時常把兩個曲線的方程聯立,消去x(或y)建立一元二次方程,然后借助根與系數的關系,并結合題設條件建立有關參變量的等量關系.
(2)涉及到直線方程的設法時,務必考慮全面,不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形.
【題型】解答題
【結束】
21
【題目】已知函數f(x)=(x+b)(-a),(b>0),在(-1,f(-1))處的切線方程為(e-1)x+ey+e-1=0.
(Ⅰ)求a,b;
(Ⅱ)若方程f(x)=m有兩個實數根x1,x2,且x1<x2,證明:x2-x1≤1+.
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【題目】按下列要求分配6本不同的書,各有多少種不同的分配方式?
(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
(3)平均分成三份,每份2本;
(4)平均分配給甲、乙、丙三人,每人2本;
(5)分成三份,1份4本,另外兩份每份1本;
(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外兩人每人得1本;
(7)甲得1本,乙得1本,丙得4本.
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【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的焦點分別為
、
,點P在橢圓C上,滿足|PF1|=7|PF2|,tan∠F1PF2=4
.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知點A(1,0),試探究是否存在直線l:y=kx+m與橢圓C交于D、E兩點,且使得|AD|=|AE|?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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