Question

【題目】已知函數f（x）=x+ （x≠0）．
（1）判斷并證明函數在其定義域上的奇偶性；
（2）判斷并證明函數在（2，+∞）上的單調性；
（3）解不等式f（2x2+5x+8）+f（x﹣3﹣x2）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=x+ 的定義域為：{x|x≠0}，關于原點對稱，

且f（﹣x）=﹣x﹣ =﹣（x+ ）=﹣f（x）恒成立，

所以函數為奇函數

（2）解：函數f（x）=x+ 在（2，+∞）上為增函數，理由如下：

證法一：任取x1，x2∈（2，+∞）

則f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）（ ）

∵x1＜x2

∴x1﹣x2＜0，

又∵x1，x2∈（2，+∞），

∴x1x2＞4，x1x2﹣4＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

所以函數在（2，+∞）上為增函數，

證法二：∵f′（x）=1﹣ ＞0在（2，+∞）上恒成立，

故函數在（2，+∞）上為增函數

（3）解：因為2x2+5x+8＞2，x2﹣x+3＞2，

∴原不等式可化為：2x2﹣5x+8＜x2﹣x+3，

∴﹣5＜x＜﹣1

所以不等式的解集為：（﹣5，﹣1）

【解析】（1）根據函數奇偶性的定義，可判斷函數為奇函數．（2）函數f（x）=x+ 在（2，+∞）上為增函數，證法一：利用定義法，可證明結論；證法二：利用導數法，可證明結論；（3）由2x2+5x+8＞2，x2﹣x+3＞2，故原不等式可化為：2x2﹣5x+8＜x2﹣x+3，解得答案．
【考點精析】掌握函數單調性的判斷方法和函數單調性的性質是解答本題的根本，需要知道單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集．