Question

如圖，⊙O的半徑OB垂直于直徑AC，M為AO上一點，BM的延長線交⊙O于N，過N點的切線交CA的延長線于P．
（Ⅰ）求證：PM²=PA•PC；
（Ⅱ）若⊙O的半徑為2

3

，OA=

3

OM，求MN的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）做出輔助線連接ON，根據切線得到直角，根據垂直得到直角，即∠ONB+∠BNP=90°且∠OBN+∠BMO=90°，根據同角的余角相等，得到角的相等關系，得到結論．
（Ⅱ）本題是一個求線段長度的問題，在解題時，應用相交弦定理，即BM•MN=CM•MA，代入所給的條件，得到要求線段的長．

解答：（Ⅰ）證明：連接ON，因為PN切⊙O于N，
∴∠ONP=90°，
∴∠ONB+∠BNP=90°
∵OB=ON，
∴∠OBN=∠ONB
因為OB⊥AC于O，
∴∠OBN+∠BMO=90°，
故∠BNP=∠BMO=∠PMN，PM=PN
∴PM²=PN²=PA•PC
（Ⅱ）∵OM=2，BO=2

3

，BM=4
∵BM•MN=CM•MA=（2

3

+2）（2

3

-2）（2

3

-2）=8，
∴MN=2

點評：本題要求證明一個PM²=PA•PC結論，實際上這是一個名叫切割線定理的結論，可以根據三角形相似對應邊成比例來證明，這是一個基礎題．