Question

已知函數（）.

（1）若函數在定義域內單調遞增，求實數的取值范圍；

（2）若，且關于的方程在上恰有兩個不等的實根，求實數的取值范圍；

（3）設各項為正數的數列滿足，（），求證：.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）答案詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）求導函數，函數在定義域內單調遞增等價于在時恒成立，參變分離后，轉化為求確定函數的最值問題；（2）將解析式帶入得，

，方程在上恰有兩個不等的實根，等價于的圖象與x軸有兩個不同的交點，利用導數判斷函數的大致圖象，從而得解；（3）本題難度大，很難找到突破口，不妨從結論入手，考慮等號情形，容易聯想到等比數列，由結論，

則，故，利用累積法可證明．

試題解析：（1）函數的定義域為，

，依題意在時恒成立，

則在時恒成立，即，

當時，取最小值-1，所以的取值范圍是 4分

（2），由得在上有兩個不同的實根，

設

，時，，時，

，，

，得

則 8分

（3）易證當且時，.

由已知條件，

故所以當時，，相乘得又故，即 12分

考點：1、導數在單調性上的應用；2、利用導數求函數的極值、最值；3、放縮法.