Question

若x、y、z均為實數，且a=x²-2y+

π

2

，b=y²-2z+

π

3

，c=z²-2x+

π

6

，則a、b、c中是否至少有一個大于零？請說明理由．

Answer 1

分析：由題設條件，本題是一個證明至少什么成立的問題，若從正面來證，則需分成幾類，故常采用反證法，a、b、c中至少有一個大于零對立面是沒有一個大于0．故可假設三者皆小于等于0推出矛盾來．

解答：解：假設a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，則a+b+c≤0．
而a+b+c=x²-2y+

π

2

+y²-2z+

π

3

+z²-2x+

π

6

=（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²+π-3，
∵π-3＞0，且無論x、y、z為何實數，
（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²≥0，
∴a+b+c＞0．這與a+b+c≤0矛盾．因此，a、b、c中至少有一個大于0．

點評：本題的考點是不等式的證明，本題證明方法是反證法，其特征是先假設命題的否定成立，推證出矛盾說明假設不成立，得出原命題成立．反證法一般適合用來證明正面證明較麻煩，而其對立面包含情況較少的情況．