Question

對(duì)于函數(shù)f(x)=

2x+a

2x-1

，
（Ⅰ）求函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）當(dāng)a為何值時(shí)，f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅲ）寫(xiě)出（Ⅱ）中函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并用定義給出證明．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，2^x-1≠0 可求函數(shù)的定義域
（2）由題意可得f(-x)=

2-x+a

2-x-1

=-

a•2x+1

2x-1

=-f(x)=-

2x+a

2x-1

，化簡(jiǎn)可求a
（3）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=

2

2x-1

+1，只要現(xiàn)證明，x∈（0，+∞）時(shí)的單調(diào)性，然后根據(jù)奇函數(shù)對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性相同可知，任取x₁，x₂∈（0，+∞） 且x₁＜x₂ 然后只要判斷f（x₁）與f（x₂）的大小即可 證明

解答：（1）解：由題意可得，2^x-1≠0 即x≠0 
∴定義域?yàn)閧x|x≠0}
（2）解：由f（x）是奇函數(shù)，則對(duì)任意x∈{x|x≠0} 
f(-x)=

2-x+a

2-x-1

=-

a•2x+1

2x-1

=-f(x)=-

2x+a

2x-1

 
化簡(jiǎn)得（a-1）2^x=a-1∴a=1 
∴a=1時(shí)，f（x）是奇函數(shù)
（3）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=

2

2x-1

+1的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0）和（0，+∞）．
證明：任取x₁，x₂∈（0，+∞） 且x₁＜x₂ 則f(x1)-f(x2)=

2

2x1-1

-

2

2x2-1

=

2(2x2-2x1)

(2x1-1)(2x2-1)

 
∵0＜x₁＜x₂ y=2^x 在R上遞增∴2x2＞2x1＞1 
∴2x2-2x1＞0，2x1-1＞0，2x2-1＞0 
∴f（x₁）-f（x₂）＞0∴f（x） 在（0，+∞） 上單調(diào)遞減．同理：f（x） 在（-∞，0）上單調(diào)遞減．
綜上：f(x)=

2

2x-1

+1 在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞） 上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了奇函數(shù)的定義在參數(shù)求解中的應(yīng)用，及函數(shù)的單調(diào)性的定義在函數(shù)證明中的應(yīng)用，屬于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用．