Question

設函數方程f（x）=x有唯一的解，已知f（x_n）=x_n+1（n∈N﹡）且
（1）求證：數列{}是等差數列；
（2）若，求s_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n；
（3）在（2）的冬件下，若不等式對一切n∈N﹡均成立，求k的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據ax²+（2a-1）x=0（a≠0）有唯一解，得，利用f（x_n）=x_n+1，可得，取倒數，即可證得數列{}是等差數列； 
（2）先確定，從而可得，故，由此可求S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n．
（3）原不等式即為對一切n∈N^*，不等式恒成立，
設，則h（n）＞0，作商，可得h（n）隨n遞增，從而可得k的最大值．
解答：（1）證明：由題意得：ax²+（2a-1）x=0（a≠0）有唯一解，得
∴f（x）=
∵f（x_n）=x_n+1（n∈N﹡）
∴
∴，即
∴數列{}是等差數列； （4分）
（2）解：由，即，解得x₁=1
故，即
∴，
∴
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=（1-+-+…+）=（8分）
（3）解：（理）∵
∴原不等式即為對一切n∈N^*，不等式恒成立，
設，則h（n）＞0
即h（n）隨n遞增，故，
所以k的最大值為（13分）
點評：本題考查數列與不等式的綜合，考查等差數列的證明，考查裂項法求數列的和，考查恒成立問題，解題的關鍵是分離參數，綜合性強