Question

9．已知函數f（x）=$\sqrt{3}sinωxsin（ωx+\frac{π}{2}）-{cos^2}ωx+\frac{1}{2}$（ω＞0）的周期為π．
（1）求ω．
（2）若將函數f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位后，再將得到的圖象上各點橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象，求函數g（x）表達式．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和差的正弦公式，結合輔助角公式進行化簡，根據周期的定義即可求出ω的值；
（2）根據三角函數的圖象變換，進行化簡求解即可．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}sinωxsin（ωx+\frac{π}{2}）-{cos^2}ωx+\frac{1}{2}$
=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-$\frac{1}{2}$（cos2ωx+1）+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），
∴T=$\frac{2π}{2ω}$=π，
解得ω=1，
（2）由（1）可知f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
將函數f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位后得到y=sin=[2（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=sin（2x+$\frac{π}{6}$）
再將得到的圖象上各點橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，y=g（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）

點評 本題主要考查三角函數的圖象和性質，利用兩角和差的正弦公式結合三角函數的圖象變換關系是解決本題的關鍵．