Question

【題目】已知平面向量，，滿足：，的夾角為，||＝5，，的夾角為，||＝3，則的最大值為_____．

Answer 1

【答案】36

【解析】

設，，，由題意知四點共圓，建立坐標系，求出點的坐標和圓的半徑，設，用表示，根據范圍和三角和差公式，即可求解．

設，，，

則AB＝||＝5，AC＝||＝3，∠ACB，∠APB，

可得P，A，B，C四點共圓．

設△ABC的外接圓的圓心為O，則∠AOB＝2∠APB，

由正弦定理可知：2OA5，故OA．

以O為圓心，以OA，OB為坐標軸建立平面坐標系如圖所示：

則A（，0），B（0，）．

在△OAC中，由余弦定理可得cos∠AOC，

故sin∠AOC，∴C（，）．

設P（cosα，sinα），，

則（cosα，sinα），（cosα，sinα），

∴（cosα）（cosα）sinα（sinα）

＝16+12sinα﹣16cosα＝16+20（sinαcosα）

＝16+20sin（α﹣φ），其中sinφ，cosφ．

∴當α＝φ時，取得最大值36．

答案：36．