Question

如圖，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，點E分有向線段所成的比為，雙曲線過C、D、E
三點，且以A、B為焦點．求雙曲線的離心率．

Answer 1

【答案】分析：以AB的垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立直角坐標系xOy，設出A、B、C的坐標，利用點E分有向線段所成的比為，|AB|=2|CD|，求出E的坐標，結合雙曲線方程，求出關于e的表達式，即可得到e的值．
解答：解：如圖，以AB的垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立直角坐標系xOy，則CD⊥y軸．

因為雙曲線經過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關于y軸對稱．（2分）
依題意，記A（-c，0），C（，h），B（c，0），
其中c為雙曲線的半焦距，c=|AB|，h是梯形的高．
由定比分點坐標公式，得點E的坐標為，．（5分）
設雙曲線的方程為，則離心率．
由點C、E在雙曲線上，
得（10分）
解得，化簡可得，
所以，離心率（14分）
點評：本小題主要考查坐標法、定比分點坐標公式、雙曲線的概念和性質，推理、運算能力和綜合應用數學知識解決問題的能力．