Question

設定義在R上的函數f（x）=

1 |x-1| ，x≠1 1，x=1.

若關于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有3個不同的實數解x₁，x₂，x₃，則x₁+x₂+x₃=

3

．

Answer 1

分析：由函數的解析式易知f（x）的圖象關于直線x=1對稱．從而得出f²（x）+bf（x）+c=0必有一根使f（x）=1，不妨設為x₁，而x₂，x₃關于直線x=1對稱，于是求得x₁+x₂+x₃的值．

解答：解：易知f（x）的圖象關于直線x=1對稱
對于方程f²（x）+bf（x）+c=0，是一個關于f（x）的一元二次方程，若此一元二次方程僅有一根，則必有
f（x）=1，此時x₁，x₂，x₃三個數中有一個是1，另兩個關于x=1對稱，此時有 x₁+x₂+x₃=3
若關于f（x）的一元二次方程f²（x）+bf（x）+c=0有兩個根，則必有f（x）=1與f（x）=m≠1
此時f（x）=1的根為1，f（x）=m≠1有兩根，且此兩根關于x=1對稱，此時有x₁+x₂+x₃=3
綜上知x₁+x₂+x₃=3
故答案為3．

點評：數形結合是數學解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質；另外，由于使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷．