Question

函數（x＞0，a＞0）．
（1）當a=1時，證明：f（x）在（1，+∞）上是增函數；
（2）若f（x）在（0，2）上是減函數，求a的取值范圍．

Answer 1

證明：（1）當a=1時，（x＞0，a＞0），f′（x）=1-=．…（2分）
∵x＞1，∴x²＞1，即 x²-1＞0，∴＞0，即 f′（x）＞0，…（5分）
∴f（x）在（1，+∞）上是增函數． …（6分）
（2）f′（x）=1-=，…（7分）
使f（x）在（0，2）上是減函數，則當x∈（0，2）時，x²-a≤0恒成立，…（9分）
即a≥x²恒成立，即a≥2²=4，∴a≥4． …（12分）
分析：（1）當a=1時，f′（x）=1-=，由x＞1可得f′（x）＞0，從而得f（x）在（1，+∞）上是增函數．
（2）先求出f′（x）=1-=，由題意可得當x∈（0，2）時，x²-a≤0恒成立，故a≥2²=4．
點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性，以及函數的恒成立問題，屬于中檔題．