Question

已知函數f(x)=

a

x

+lnx-n(a＞0)，其中n=

∫

π 2 0

(2sin

t

2

cos

t

2

)dt．若函數f（x）在定義域內有零點，則a的取值范圍是

（0，1]

．

Answer 1

分析：先利用微積分基本定理求出n，得到函數的解析式，再求導函數，從而可確定函數的最小值，要使函數f（x）在定義域內有零點，則需最小值小于等于0即可．

解答：解：n=

∫

π 2 0

(2sin

t

2

cos

t

2

)dt．
∴n=∫₀ 

π

2

sintdt=-cost|₀ 

π

2

=1，
從而f(x)=

a

x

+lnx-1(a＞0)，
函數的定義域為（0，+∞）
∴f′(x)=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

令f′（x）=0，∴x=a
當x∈（0，a）時，f′（x）＜0，當x∈（a，+∞）時，f′（x）＞0，
∴x=a時，函數f（x）取得最小值lna
∵函數f（x）在定義域內有零點
∴lna≤0
∴0＜a≤1
∴函數f（x）在定義域內有零點時，a的取值范圍是（0，1]
故答案為：（0，1]．

點評：本題以函數為載體，考查微積分基本定理，導數的運用，考查函數的零點，解題的關鍵是將函數f（x）在定義域內有零點，轉化為最小值小于等于0．本題屬于基礎題．