Question

（2012•臨沂二模）已知函數f（x）滿足f(x+1)=-

1

f(x)

，且f（x）是偶函數，當x∈[0，1]時，f（x）=x²，若在區間[-1，3]內，函數g（x）=f（x）-kx-k有4個零點，則實數k的取值范圍是（　　）

• A．[

  1

  4

  ，

  1

  3

  )
• B．(0，

  1

  2

  )
• C．(0，

  1

  4

  ]
• D．(

  1

  3

  ，

  1

  2

  )

Answer 1

分析：根據f(x+1)=-

1

f(x)

，可得f（x）是周期為2的周期函數． 再由f（x）是偶函數，當x∈[0，1]時，f（x）=x²，可得函數在[-1，3]上的解析式．根據題意可得
函數y=f（x）的圖象與直線y=kx+k 有4個交點，數形結合可得實數k的取值范圍．

解答：解：∵函數f（x）滿足f(x+1)=-

1

f(x)

，故有f（x+2）=f（x），故f（x）是周期為2的周期函數．再由f（x）是偶函數，當x∈[0，1]時，f（x）=x²，
可得當x∈[-1，0]時，f（x）=x²，故當x∈[-1，1]時，f（x）=x² ，當x∈[1，3]時，f（x）=（x-2）²．
由于函數g（x）=f（x）-kx-k有4個零點，故函數y=f（x）的圖象與直線y=kx+k 有4個交點，如圖所示：

把點（3，1）代入y=kx+k，可得k=

1

4

，數形結合可得實數k的取值范圍是 (0，

1

4

]，
故選C．

點評：本題主要考查函數的周期性的應用，函數的零點與方程的根的關系，體現了轉化、數形結合的數學思想，屬于基礎題．