Question

如圖，在銳角△ABC中，AB<AC，AD是邊BC上的高，P是線段AD內一點。過P作PE⊥AC，垂足為E，做PF⊥AB，垂足為F。O₁、O₂分別是△BDF、△CDE的外心。求證：O₁、O₂、E、F四點共圓的充要條件為P是△ABC的垂心。

Answer 1

證明略

證明：連結BP、CP、O₁O₂、EO₂、EF、FO₁。因為PD⊥BC，PF⊥AB，故B、D、P、F四點共圓，
且BP為該圓的直徑。又因為O₁是△BDF的外心，故O₁在BP上且是BP的中點。同理可證C、D、P、E四點共圓，且O₂是的CP中點。綜合以上知O₁O₂∥BC，所以∠PO₂O₁=∠PCB。因為AF·AB=AP·AD=AE·AC，所以B、C、E、F四點共圓。
充分性：設P是△ABC的垂心，由于PE⊥AC，PF⊥AB，所以B、O₁、P、E四點共線，C、O₂、P、F四點共線，∠FO₂O₁=∠FCB=∠FEB=∠FEO₁，故O₁、O₂、E、F四點共圓。
必要性：設O₁、O₂、E、F四點共圓，故∠O₁O₂E+∠EFO₁=180°。
由于∠PO₂O₁=∠PCB=∠ACB-∠ACP，又因為O₂是直角△CEP的斜邊中點，也就是△CEP的外心，所以∠PO₂E=2∠ACP。因為O₁是直角△BFP的斜邊中點，也就是△BFP的外心，從而∠PFO₁=90°-∠BFO₁=90°-∠ABP。因為B、C、E、F四點共圓，所以∠AFE=∠ACB，∠PFE=90°-∠ACB。于是，由∠O₁O₂E+∠EFO₁=180°得
(∠ACB-∠ACP)+2∠ACP+(90°-∠ABP)+(90°-∠ACB)=180°，即∠ABP=∠ACP。又因為AB<AC，AD⊥BC，故BD<CD。設B'是點B關于直線AD的對稱點，則B'在線段DC上且B'D=BD。連結AB'、PB'。由對稱性，有∠AB'P=∠ABP，從而∠AB'P=∠ACP，所以A、P、B'、C四點共圓。由此可知∠PB'B=∠CAP=90°-∠ACB。因為∠PBC=∠PB'B，
故∠PBC+∠ACB=(90°-∠ACB)+∠ACB=90°，故直線BP和AC垂直。由題設P在邊BC的高上，所以P是△ABC的垂心。