Question

（幾何證明選講）解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．△ABC中，AB＜AC，AD、AE分別是BC邊上的高和中線，且∠BAD=∠EAC．證明∠BAC是直角．

Answer 1

【答案】分析：取AC中點F，連EF、DF，由三角形的中位線定理，易得EF∥AB，結合∠BAD=∠EAC易得∠EAB=∠DAC，∠ADF=∠DAC，進而得到A、D、E、F四點共圓，由圓內接四邊形的性質得到EF⊥AC，進而AB⊥AC，即得到結論．
解答：證明：如圖，取AC中點F，連EF、DF，EF為三角形△ABC得中位線，故有EF∥AB，∠AEF=∠EAB．①
又由∠BAD=∠EAC，所以∠EAB=∠DAC．②
因AD是BC邊上的高，則△ADC是直角三角形，則DF=AF．于是∠ADF=∠DAC．…③
聯合①、②，得∠ADF=∠AEF，由此，得A、D、E、F四點共圓．
于是，∠AFE=180°-∠ADE=90°．因∠BAC+∠AFE=180°，故∠BAC=90°
最后一步，也可由：AD⊥BC得EF⊥ACC從而AB⊥AC，得∠BAC=90°．
又取AC的中點F，連EF，也可證得∠BAC=90°．
點評：本題考查的知識點是四點共圓的判定與性質，其中添加適當的輔助線，并根據已知條件得到A、D、E、F四點共圓，是解答本題的關鍵．