Question

【題目】如圖所示，四棱錐中，平面平面，△ABC為等腰三角形，為的中點，為的中點，且，．

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）若，求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）連結PF，先證明DC⊥平面ABC，再證明AFPE是平行四邊形，得到EP⊥平面BCD

（Ⅱ）先得到EP是三棱錐E﹣BDF的高，再計算EP=，代入面積公式計算得到答案.

（I）由題意知△ABC為等腰直角三角形，

而F為BC的中點，所以AF⊥BC．

又因為平面AEDC⊥平面ABC，且∠ACD=90°，

所以DC⊥平面ABC．

而AF平面ABC，所以AF⊥DC．

而BC∩DC=C，所以AF⊥平面BCD．

連結PF，則PF∥DC，PF=DC，

而AE∥DC，AE=DC，所以AE∥PF，AE=PF，

AFPE是平行四邊形，

因此EP∥AF，故EP⊥平面BCD．

（II）因為EP⊥平面BCD，所以EP⊥平面BDF，EP是三棱錐E﹣BDF的高．

所以EP=AF=BC==．

故三棱錐E﹣BDF的體積為：

V=．