Question

在棱長(zhǎng)為1的正方體中ABCD=A₁B₁C₁D₁，M、N分別是AC₁、A₁B₁的中點(diǎn)．點(diǎn)P 在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，則總能使MP與BN垂直的點(diǎn)P所構(gòu)成的軌跡的周長(zhǎng)等于

 

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Answer 1

分析：取BB₁的中點(diǎn)E、CC₁的中點(diǎn)F，連接AE、EF、FD，則BN⊥平面AEFD，設(shè)M在平面AB₁中的射影為O，過MO與平面AEFD平行的平面為α，故能使MP與BN垂直的點(diǎn)P所構(gòu)成的軌跡為矩形，其周長(zhǎng)與矩形AEFD的周長(zhǎng)相等．

解答：解：取BB₁的中點(diǎn)E、CC₁的中點(diǎn)F，連接AE、EF、FD，則BN⊥平面AEFD
設(shè)M在平面AB₁中的射影為O，過MO與平面AEFD平行的平面為α
∴能使MP與BN垂直的點(diǎn)P所構(gòu)成的軌跡為矩形，其周長(zhǎng)與矩形AEFD的周長(zhǎng)相等
∵正方體ABCD=A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1
∴矩形AEFD的周長(zhǎng)為2+

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故答案為：2+

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點(diǎn)評(píng)：本題考查立體幾何中的軌跡問題，考查學(xué)生的分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是確定使MP與BN垂直的點(diǎn)P所構(gòu)成的軌跡．