Question

棱長為1的正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁的8個頂點都在球O的表面上，則球O的表面積是

 

；設E、F分別是該正方形的棱AA₁、DD₁的中點，則直線EF被球O截得的線段長為

 

．

Answer 1

分析：由題意可知正方體的體對角線計算球的直徑，求出對角線的長可得球的直徑，求出半徑，即可求出球的表面積；如圖所示，OP 是球的半徑，OQ是棱長的一半，求出PQ的2倍即可求出直線EF被球O截得的線段長．

解答：解：正方體對角線為球直徑，A₁A²=3，
所以R2=

3

4

，所以球的表面積為3π；
由已知所求EF是正方體在球中其中一個截面的直徑，
d=

1

2

，R=

3

2

，所以r=

3 4 - 1 4

=

2

2

，
所以2PQ=2r=

2

．
故答案為：3π；

2

點評：本題考查正方體的外接球，球的表面積的計算，球的截面知識，考查計算能力，空間想象能力，正確利用條件求解直線EF被球O截得的線段長，是本題的難點，結合圖形直觀，易于解題．