Question

【題目】如圖，直線()關于直線對稱的直線為，直線，與橢圓分別交于點A，M和A，N，記直線的斜率為．

（1）求的值；

（2）當變化時，直線是否恒過定點？若恒過定點，求出該定點坐標；若不恒過定點，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）當變化時，直線MN恒過定點．

【解析】

（1）設直線上任意一點關于直線對稱點為，利用與關于直線對稱可得關系式，代入斜率乘積即可得到的值；

（2）設出M，N的坐標，分別聯立兩直線方程與橢圓方程，求出M，N的坐標，進一步求出MN所在直線的斜率，寫出直線方程的點斜式，整理后由直線系方程可得當k變化時，直線MN過定點．

（1）設直線上任意一點關于直線的對稱點為，

直線與直線的交點為，

∵，，∴，，

據題意，得，∴①，

由，得②，

由①②，得，

∴；

（2）設點，，由得，

∴，∴．同理有，．又∵，

∴．∴，

∴，即，

∴當變化時，直線MN恒過定點．