Question

設函數f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），（x＞-1，a≥0）
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當a=1時，若方程f（x）=t在上有兩個實數解，求實數t的取值范圍；
（Ⅲ）證明：當m＞n＞0時，（1+m）ⁿ＜（1+n）^m．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導數，再利用導數大于0，求函數的單調區間；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在上單調遞增，在[0，1]上單調遞減可得解（Ⅲ）根據要證明的結論，利用分析法來證明本題，從結論入手，要證結論只要證明后面這個式子成立，兩邊取對數，構造函數，問題轉化為只要證明函數在一個范圍上成立，利用導數證明函數的性質．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=1-aln（x+1）-a
①a=0時，f′（x）＞0∴f（x）在（-1，+∞）上是增函數    …（1分）
②當a＞0時，f（x）在上遞增，在單調遞減．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在上單調遞增，在[0，1]上單調遞減
又
∴
∴當時，方程f（x）=t有兩解   …（8分）
（Ⅲ）要證：（1+m）ⁿ＜（1+n）^m只需證nln（1+m）＜mln（1+n），
只需證：
設，則…（10分）
由（Ⅰ）知x-（1+x）ln（1+x），在（0，+∞）單調遞減    …（12分）
∴x-（1+x）ln（1+x）＜0，即g（x）是減函數，而m＞n
∴g（m）＜g（n），故原不等式成立．          …（14分）
點評：考查不等式的證明，考查化歸思想，考查構造函數，是一個綜合題，題目難度中等，在證明不等式時，注意采用什么形式，選擇一種合適的寫法