Question

如下圖所示，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA₁＝4，點D是AB的中點．

(1)求證：AC⊥BC₁；
(2)求證：AC₁∥平面CDB₁；
(3)求異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值．

Answer 1

（1）先證明AC⊥平面BCC₁B₁，再根據性質即可證明
（2）先證明DE∥AC₁，再根據線面平行的判定定理證明
（3）

試題分析：(1)在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面三邊長AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AC⊥BC.又∵C₁C⊥AC.∴AC⊥平面BCC₁B₁.
∵BC₁?平面BCC₁B，∴AC⊥BC₁.
(2)設CB₁與C₁B的交點為E，連接DE，又四邊形BCC₁B₁為正方形．
∵D是AB的中點，E是BC₁的中點，∴DE∥AC₁.
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁.
(3)∵DE∥AC₁，∴∠CED為AC₁與B₁C所成的角．
在△CED中，ED＝AC₁＝，CD＝AB＝，CE＝CB₁＝2，
∴cos∠CED＝＝.
∴異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值為.
點評：解決此類問題，要準確應用相應的判定定理和性質定理并注意相互轉化，求解兩條異面直線的夾角問題時，要注意夾角的取值范圍.