Question

等差數列{a_n}中，a₁=-1，公差d≠0且a₂，a₃，a₆成等比數列，前n項的和為S_n．
（1）求a_n及S_n；
（2）設b_n=

1

anan+1

，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由a₂，a₃，a₆成等比數列可得（-1+d）•（-1+5d）=（-1+2d）²，求出d后代入等差數列的通項公式可得a_n=-1+2（n-1）=2n-3．代入等差數列的前n項和求得S_n；
（2）把a_n代入b_n=

1

anan+1

，然后由裂項相消法求得T_n．

解答： 解：（1）由題意可得a2•a6=a32，
又∵a₁=-1，∴（-1+d）•（-1+5d）=（-1+2d）²，
解得：d=2．
∴a_n=-1+2（n-1）=2n-3．
Sn=-n+

n(n-1)×2

2

=n2-2n；
（2）bn=

1

anan+1

=

1

(2n-3)(2n-1)

=

1

2

(

1

2n-3

-

1

2n-1

)，
∴Tn=b1+b2+…+bn=

1

2

[(

1

-1

-

1

1

)+(

1

1

-

1

3

)+…+(

1

2n-3

-

1

2n-1

)]
=

1

2

(-1-

1

2n-1

)=-

n

2n-1

．

點評：本題考查了等比數列的性質，考查了裂項相消法求數列的和，是中檔題．