Question

已知橢圓的標準方程為，且c=1，如果直線：3x-2y=0與橢圓的交點在x軸上的射影恰為橢圓的焦點，
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設直線與橢圓在第一象限內的交點為P，F是橢圓的右焦點，若直線4x+3y+m=0與以PF為直徑的圓相切，求實數m的值；
（3）設M是橢圓上任意一點，F是橢圓的一個焦點，試探究以橢圓長軸為直徑的圓O與以MF為直徑的圓的位置關系。

Answer 1

解：（1）直線3x-2y=0 與橢圓的一個交點的坐標為，
代入橢圓方程得：，  
又c=1，，
解得：a=2，，
所以，橢圓的標準方程為。
（2）由（1）知，F（1，0），
則以PF為直徑的圓的方程為，
圓心坐標為，半徑為；
當直線4x+3y+m=0與圓相切時，
則，解得m=-10或；    
（3）設F′是橢圓的另一個焦點，則有，
以MF為直徑的圓的圓心為N，半徑為，
又圓O的半徑為a，
所以兩圓圓心之間的距離是，故兩圓內切。