【題目】已知函數(shù)
，
．
（1）討論函數(shù)
的單調(diào)性；
（2）證明：若
，則對(duì)于任意
，不等式
恒成立．
【答案】（1）詳見解析；（2）證明見解析．
【解析】
（1）求定義域，求導(dǎo)
，再分類討論得導(dǎo)數(shù)符號(hào)，從而得出函數(shù)的單調(diào)性；
（2）原不等式即
，變形為
，只需
證恒成立；設(shè)函數(shù)
，
，結(jié)合導(dǎo)數(shù)易得
，
，由
，得
，從而得出證明．
（1）解：函數(shù)
的定義域?yàn)?/span>
，，
①當(dāng)
時(shí)，
，則
在內(nèi)單調(diào)遞減；
②當(dāng)
時(shí)，由
得，
，解得
，由
得，
，則在
內(nèi)單調(diào)遞減，在
內(nèi)單調(diào)遞增；
③當(dāng)
時(shí)，
，則
，則在內(nèi)單調(diào)遞減；
④當(dāng)
時(shí)，由得，，解得，或
，由得，
，則在，
內(nèi)單調(diào)遞減，在
內(nèi)單調(diào)遞增；
綜上：當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減；在內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)
時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在，內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；
（2）證明：原不等式即，變形為，
∴只需證恒成立，
設(shè)函數(shù)，，
因?yàn)?/span>
，易得
在
單調(diào)遞增，在
上單調(diào)遞減，
所以，
，
在
單調(diào)遞減，在上
單調(diào)遞增，
所以，
因?yàn)?/span>，所以，即在內(nèi)恒成立，
∴若，則對(duì)于任意
，不等式
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
是直角梯形，
∥
，
，
是等邊三角形，側(cè)面
底面，
，
，
，點(diǎn)
是棱
上靠近點(diǎn)
的一個(gè)三等分點(diǎn)．
（1）求證：
∥平面
；
（2）設(shè)點(diǎn)
是線段（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，若直線
與底面所成的角的正弦值為
，求線段
的長(zhǎng)．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖已知
，
，
、
分別為
、
的中點(diǎn)
，將
沿
折起，得到四棱錐
，
為
的中點(diǎn).
（1）證明：
平面
；
（2）當(dāng)正視圖方向與向量
的方向相同時(shí)，的正視圖為直角三角形，求此時(shí)二面角
的余弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點(diǎn)分別為
，
，
為橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)
時(shí)，
的面積為
，且
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）已知直線
經(jīng)點(diǎn)
，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)
、
，且
，求直線的方程.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)．
（1）求
的取值范圍；
（2）設(shè)兩極值點(diǎn)分別為
，
，且
，證明：
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的離心率為
，設(shè)直線
過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)
到直線的距離為2.
（1）求橢圓的方程.
（2）過(guò)點(diǎn)
且斜率不為零的直線交橢圓于
，
兩點(diǎn)，在
軸的正半軸上是否存在定點(diǎn)
，使得直線
，
的斜率之積為非零的常數(shù)？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知函數(shù)f（x）
，
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）證明：a＝1時(shí)，f（x）+g（x）﹣（1
）lnx＞e．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
的底面
是邊長(zhǎng)為2的菱形，平面
平面，
，
，
分別是棱
，
的中點(diǎn).
（1）求證：
平面
；
（2）若
，求
與平面所成角的正弦值.
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