Question

以邊長(zhǎng)為的正三角形作為底面的斜三棱柱，它的一條側(cè)棱AA₁與相鄰兩邊都成45⁰角，若此斜三棱柱的側(cè)面積為，則棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為_(kāi)_______．

Answer 1

2
分析：根據(jù)題意畫(huà)出斜三棱柱，作出已知的線(xiàn)線(xiàn)角，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理證明BC⊥B₁B，再由測(cè)面積的值列出關(guān)于側(cè)棱的方程，然后求出側(cè)棱的值．
解答：過(guò)A₁做AA₁的垂線(xiàn)A₁D，取BC的中點(diǎn)E，連接AE，
由題意知A₁在底面上的射影在線(xiàn)段AE上，

∵△ABC是正三角形，∴AE⊥BC，
根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理知，BC⊥平面A₁AE
∴BC⊥AA₁，BC⊥BB₁，
∵AB⊥DA₁，∴∠DAA₁=45⁰，設(shè)棱AA₁=a，則DA₁=，
∵斜三棱柱的側(cè)面積為4+4，
∴4+4=2××+a，
解得，a=2，
故答案為：2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了棱柱的側(cè)面積問(wèn)題，需要畫(huà)出幾何體，根據(jù)線(xiàn)面垂直的定理進(jìn)行證明側(cè)面的高線(xiàn)，再由平行四邊形的面積公式表示出側(cè)面積，列出對(duì)應(yīng)方程進(jìn)行求解，難度較大，考查了空間想象能力．