Question

已知點M在橢圓D：=1（a＞b＞0）上，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點，若圓M與y軸相交于A，B兩點，且△ABM是邊長為的正三角形．
（Ⅰ）求橢圓D的方程；
（Ⅱ）設P是橢圓D上的一點，過點P的直線l交x軸于點F（-1，0），交y軸于點Q，若，求直線l的斜率；
（Ⅲ）過點G（0，-2）作直線GK與橢圓N：左半部分交于H，K兩點，又過橢圓N的右焦點F₁做平行于HK的直線交橢圓N于R，S兩點，試判斷滿足|GH|•|GK|=3|RF₁|•|F₁S|的直線GK是否存在？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先確定M的坐標，代入橢圓方程，再利用a²-b²=c²，求出幾何量，即可求橢圓D的方程；
（Ⅱ）設出過點P的直線l，利用，求得P的坐標，代入橢圓方程，即可求直線l的斜率；
（Ⅲ）設直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理，結合|GH|•|GK|=3|RF₁|•|F₁S|，即可求得結論．
解答：解：（Ⅰ）因為△ABM是邊長為的正三角形
所以圓M的半徑，M到y軸的距離為，即橢圓的半焦距
此時點M的坐標為…（2分）
因為點M在橢圓D：上
所以
又a²-b²=c²=2
解得：a²=6，b²=4
所求橢圓D的方程為…（4分）
（Ⅱ）由題意可知直線l的斜率存在，設直線斜率為k
直線l的方程為y=k（x+1），則有Q（0，k）
設P（x₁，y₁），由于P、Q、F三點共線，且
根據題意得（x₁，y₁-k）=2（-x₁-1，-y₁），解得…（6分）
又P在橢圓D上，故
解得
綜上，直線l的斜率為．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）得：橢圓N的方程為…①，
由于F₁（1，0），設直線GK的方程為y=kx-2（k＜0）…②，
則直線RS的方程為y=k（x-1）（k＜0）…③
設H（x₃，y₃），K（x₄，y₄）
聯立①②消元得：（1+2k²）x²-8kx+6=0，所以
所以…（10分）
設R（x₅，y₅），S（x₆，y₆）
聯立①③消元得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
所以，…（13分）
由，化簡得：k²+1=0，顯然無解，
所以滿足|GH|•|GK|=3|RF₁|•|F₁S|的直線GK不存在．…（14分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．